Problema 1
Până la 8 pagini. Fotografiază cu lumină bună și imagine clară.
Elevul utilizează corect relația dintre partea întreagă, partea fracționară și numărul real, scriind [x] = x - {x}, ceea ce este echivalent cu x = [x] + {x}. De asemenea, folosește proprietatea {x} ∈ (0, 1) în demonstrația ulterioară, chiar dacă intervalul corect este [0, 1). Pentru scopul demonstrației, această mică inexactitate nu afectează validitatea pasului.
Elevul transformă inegalitatea inițială într-o sumă de termeni individuali, arătând că este suficient să demonstreze că fiecare termen `[xk]² + 3 - 2xk > 0`. Această transformare este corectă și echivalentă cu inegalitatea inițială, chiar dacă diferă de forma exactă din barem. Este o abordare validă pentru a simplifica problema.
Elevul nu obține relația (1) din barem, ci urmează o cale alternativă. După ce a stabilit că trebuie să demonstreze `[x]² + 3 - 2x > 0`, substituie `[x] = x - {x}` și obține o inegalitate de gradul doi în x: `x² - 2({x} + 1)x + {x}² + 3 > 0`. Aceasta este o relație cheie în abordarea sa alternativă și este obținută corect.
Elevul demonstrează corect că inegalitatea `x² - 2({x} + 1)x + {x}² + 3 > 0` este adevărată pentru orice x ∈ R. Calculează discriminantul `Δ = 8({x} - 1)`, arată că `Δ < 0` (deoarece `{x} < 1`), și observă că coeficientul dominant `a = 1 > 0`. Aceste condiții sunt suficiente pentru a demonstra că trinomul este întotdeauna pozitiv, finalizând astfel demonstrația pentru un termen individual. Aceasta este o demonstrație completă și corectă a relației cheie din abordarea sa alternativă.
Elevul menționează explicit relația {x} < 1. Deși încearcă să folosească x = [x] + {x}, aplicarea este inconsistentă și incorectă în pașii ulteriori (ex: (x - {x})² - 2x + 3 > 0). Totuși, recunoașterea și utilizarea parțială a proprietăților părții fracționare este prezentă.
Elevul transformă corect inegalitatea inițială în suma termenilor ([xk]² - 2xk + 3) > 0. Această transformare este echivalentă cu prima etapă a soluției din barem și este un pas corect către demonstrație.
Elevul ajunge la forma [x]² - 2[x] - 2{x} + 3 > 0, care este echivalentă cu ([x]-1)² > 2({x}-1) pentru un singur termen. Aceasta este o etapă cheie în obținerea relației (1) din barem. Cu toate acestea, pașii ulteriori de manipulare algebrică sunt incorecți și nu duc la demonstrarea relației (1) în forma sa finală sau la utilizarea ei corectă.
Elevul încearcă să demonstreze inegalitatea [x]² - 2x + 3 > 0 prin cazuri, pentru anumite intervale ale lui x. Deși raționamentul pentru aceste cazuri specifice este corect, demonstrația nu este generală pentru orice x ∈ R și nu folosește proprietățile ([x_i]-1)² >= 0 și {x_i}-1 < 0 pentru a demonstra inegalitatea sumei. Metoda aleasă de elev (demonstrarea inegalității pentru un singur termen prin cazuri) este incompletă și nu acoperă toate valorile posibile ale lui x (ex: x < 1 sau x > 3). Mai mult, nu se leagă de suma inițială.
