Problema 1 — Olimpiada de Matematică - Etapa Națională 2023 · Clasa a IX-a

Problema 1

AlgebrăEcuații și sistemeNumere întregiDivizibilitate

Trimite rezolvarea ta

Trebuie să te autentifici pentru a trimite.

Trage rezolvarea ta aici

sau apasă pentru a alege din galerie sau cameră

Până la 8 pagini. Fotografiază cu lumină bună și imagine clară.

Rezolvări

@mateilupu

26.05.2026, 18:44

Perfect100/100

Feedback AI

Reprezentări vizuale: Soluția este scrisă clar și ordonat, ușor de urmărit.

Raționament: Elevul a demonstrat o înțelegere profundă a conceptelor, aplicând corect formulele și raționamentele necesare pentru fiecare subpunct al problemei. Argumentația este solidă și completă.

Reprezentări vizuale: Soluția este scrisă clar și ordonat, ușor de urmărit. Nu sunt probleme de lizibilitate.

Raționament: Elevul a demonstrat o înțelegere excelentă a problemei și a aplicat corect toate conceptele matematice necesare. Raționamentul este complet și logic structurat pentru fiecare subpunct al problemei.

Puncte forte

Calculul discriminantului și demonstrarea că ecuația are două soluții reale distincte: Elevul a calculat corect discriminantul și a demonstrat că este strict pozitiv, justificând existența a două soluții reale distincte.
Demonstrarea că dacă x1 este întreg, atunci și x2 este întreg (folosind Viète): Elevul a folosit corect relațiile lui Viète pentru a demonstra că dacă o soluție este număr întreg, atunci și cealaltă este număr întreg.
Analiza funcției f(x) și deducerea că soluțiile sunt nepozitive: Elevul a definit corect funcția f(x) și a evaluat-o în punctele critice (1, -a, -b) pentru a deduce poziția soluțiilor, arătând că ambele sunt nepozitive.
Deducerea b < 2a: Elevul a urmat raționamentul corect pentru a ajunge la concluzia că b < 2a, definind d1 și d2 și folosind proprietățile divizorilor. Toți pașii sunt corecți și bine justificați.

Detalii barem(4)

Calculul discriminantului și demonstrarea că ecuația are două soluții reale distincte

2/2

Elevul a calculat corect discriminantul și a demonstrat că este strict pozitiv, justificând existența a două soluții reale distincte.

Demonstrarea că dacă x1 este întreg, atunci și x2 este întreg (folosind Viète)

1/1

Elevul a folosit corect relațiile lui Viète pentru a demonstra că dacă o soluție este număr întreg, atunci și cealaltă este număr întreg.

Analiza funcției f(x) și deducerea că soluțiile sunt nepozitive

1/1

Elevul a definit corect funcția f(x) și a evaluat-o în punctele critice (1, -a, -b) pentru a deduce poziția soluțiilor, arătând că ambele sunt nepozitive.

Deducerea b < 2a

3/3

Elevul a urmat raționamentul corect pentru a ajunge la concluzia că b < 2a, definind d1 și d2 și folosind proprietățile divizorilor. Toți pașii sunt corecți și bine justificați.

@mateilupu

26.05.2026, 18:35

29/100

Feedback AI

Reprezentări vizuale: Felicitări pentru rezolvarea corectă a punctului a)! Ai calculat discriminantul și ai arătat corect că este pozitiv. Pentru punctele b), va trebui să demonstrezi că dacă o soluție este întregă, atunci și cealaltă este, apoi să arăți că ambele soluții sunt nepozitive și să deduci inegalitatea b < 2a.

Raționament: Raționamentul pentru punctul a) este impecabil. Pentru punctele b), încearcă să folosești relațiile lui Viète pentru a arăta că dacă o soluție e întreagă, și cealaltă e întreagă. Apoi, poți analiza semnul funcției f(x) în anumite puncte (de exemplu, f(1), f(-a), f(-b)) pentru a deduce că soluțiile sunt nepozitive. În final, pentru b < 2a, o abordare ar fi să rescrii ecuația într-o formă care să permită o analiză a divizorilor întregi.

Reprezentări vizuale: Imaginea este clară și lizibilă.

Raționament: Ați rezolvat corect prima parte a subpunctului a). Pentru a obține punctajul maxim, trebuie să continuați cu subpunctul b) și să includeți toți pașii necesari conform rubricii.

Puncte forte

Calculul discriminantului și demonstrarea că ecuația are două soluții reale distincte: Elevul a calculat corect discriminantul și a demonstrat că este strict pozitiv, justificând existența a două soluții reale distincte.

De îmbunătățit

Demonstrarea că dacă x1 este întreg, atunci și x2 este întreg (folosind Viète): Acest pas nu a fost abordat în lucrarea elevului.
Analiza funcției f(x) și deducerea că soluțiile sunt nepozitive: Acest pas nu a fost abordat în lucrarea elevului.
Deducerea b < 2a: Acest pas nu a fost abordat în lucrarea elevului.

Detalii barem(4)

Calculul discriminantului și demonstrarea că ecuația are două soluții reale distincte

2/2

Elevul a calculat corect discriminantul și a demonstrat că este strict pozitiv, justificând existența a două soluții reale distincte.

Demonstrarea că dacă x1 este întreg, atunci și x2 este întreg (folosind Viète)

0/1

Acest pas nu a fost abordat în lucrarea elevului.

Analiza funcției f(x) și deducerea că soluțiile sunt nepozitive

0/1

Acest pas nu a fost abordat în lucrarea elevului.

Deducerea b < 2a

0/3

Acest pas nu a fost abordat în lucrarea elevului.