Problema 3 — Olimpiada de Matematică - Etapa Națională 2015 · Clasa a VIII-a

Problema 3

Numere întregiInegalitățiȘiruri și progresii

Trimite rezolvarea ta

Trebuie să te autentifici pentru a trimite.

Trage rezolvarea ta aici

sau apasă pentru a alege din galerie sau cameră

Până la 8 pagini. Fotografiază cu lumină bună și imagine clară.

Rezolvări

@DavidRadavoi

26.05.2026, 13:44

—/100

Feedback AI

Nu ai voie să trimiți baremul ca soluție.

@DavidRadavoi

26.05.2026, 13:41

—/100

Motiv respingere

Lucrarea nu corespunde problemei de corectat.

@DavidRadavoi

26.05.2026, 13:36

14/100

Feedback AI

Reprezentări vizuale: Lucrarea elevului este extrem de concisă și prezintă doar rezultate intermediare sau concluzii, fără pași de demonstrație. Nu pot acorda punctaj pentru simple afirmații, chiar dacă sunt corecte, deoarece nu pot verifica raționamentul.

Raționament: Deși unele afirmații (e.g., p(2^(nk+1)) = 1 și p(2^(nk)) = 5) pot fi corecte în contextul problemei, ele necesită o demonstrație explicită din inegalitățile stabilite. Nu există un raționament complet care să justifice cum se ajunge la aceste valori și, mai important, cum demonstrează că p(5n) - p(2n) > 0 sau p(5n) - p(2n) < 0 pentru o infinitate de elemente. Lipsesc pași cruciali pentru a deduce prima cifră a numerelor 5n_k+1 și 5n_k, precum și legătura dintre acești n_k și mulțimile A și B.

Reprezentări vizuale: Lucrarea este foarte sumar")," ","i con"),"ine doar c"),"teva afirma"),"ii f"),"r")," demonstra"),"ii complete.

Raționament: Elevul a men"),"ionat c"),"teva valori pentru p(2nk+1) ","i p(2nk), dar nu a oferit pa"),"i intermediari sau justificare pentru modul ","n care a ajuns la aceste valori. Solu"),"ia nu este complet")," ","i nu demonstreaz")," pe deplin cunoa"),"terea conceptelor.

Puncte forte

Din 2nk < 10k < 2nk+1, înmulțind prima inegalitate cu 2, rezultă 10k < 2nk+1 < 2·10k (1), deci p(2nk+1) = 1.: Elevul a ob"),"inut p(2nk+1) = 1, dar nu a ar"),"tat cum a ajuns la aceast")," concluzie.

De îmbunătățit

Pentru orice k ∈ N* există nk ∈ N* astfel încât 2nk < 10k < 2nk+1, deoarece 10k < 24k şi nk + 1 este cel mai mic element din mulțimea {m ∈ N*|10k < 2m}: Elevul nu a ales corect nk conform rubricii.
Înmulțind inegalitățile (1) cu 5nk+1, obținem 10k · 5nk+1 < 10nk+1 < 2·10k · 5nk+1, de unde împărțind prima inegalitate cu 10k şi a doua cu 2·10k, obținem 5·10nk−k < 5nk+1 < 10nk−k+1, deci p(5nk+1) ≥ 5 > p(2nk+1).: Aceast")," sec"),"iune lipse"),"te din rezolvarea elevului.
Din 2nk < 10k < 2nk+1. împărțind a doua inegalitate cu 2, rezultă 5·10k−1 < 2nk < 10k (2), deci p(2nk) ≥ 5.: Elevul a ob"),"inut p(2nk) = 5, dar nu a ar"),"tat cum a ajuns la aceast")," concluzie.
Înmulțind inegalitățile (2) cu 5nk, obținem 10k−1·5nk < 10nk < 10k·5nk, de unde împărțind prima inegalitate cu 5·10k−1 şi a doua cu 10k, obținem 10nk−k < 5nk < 2·10nk−k, deci p(5nk) = 1 < p(2nk).: Aceast")," sec"),"iune lipse"),"te din rezolvarea elevului.
Mulțimea {nk|k ∈ N*} are o infinitate de elemente deoarece 2nk < 10k < 2nk+1 < 2·10k < 5·10k < 2nk+1, deci nk < nk+1. Cum {nk|k ∈ N*} ⊂ A şi {nk+1|k ∈ N*} ⊂ B, mulțimile A şi B au o infinitate de elemente.: Aceast")," sec"),"iune lipse"),"te din rezolvarea elevului.

Detalii barem(6)

Pentru orice k ∈ N* există nk ∈ N* astfel încât 2nk < 10k < 2nk+1, deoarece 10k < 24k şi nk + 1 este cel mai mic element din mulțimea {m ∈ N*|10k < 2m}

0/2

Elevul nu a ales corect nk conform rubricii.

Din 2nk < 10k < 2nk+1, înmulțind prima inegalitate cu 2, rezultă 10k < 2nk+1 < 2·10k (1), deci p(2nk+1) = 1.

1/1

Elevul a ob"),"inut p(2nk+1) = 1, dar nu a ar"),"tat cum a ajuns la aceast")," concluzie.

Înmulțind inegalitățile (1) cu 5nk+1, obținem 10k · 5nk+1 < 10nk+1 < 2·10k · 5nk+1, de unde împărțind prima inegalitate cu 10k şi a doua cu 2·10k, obținem 5·10nk−k < 5nk+1 < 10nk−k+1, deci p(5nk+1) ≥ 5 > p(2nk+1).

0/1

Aceast")," sec"),"iune lipse"),"te din rezolvarea elevului.

Din 2nk < 10k < 2nk+1. împărțind a doua inegalitate cu 2, rezultă 5·10k−1 < 2nk < 10k (2), deci p(2nk) ≥ 5.

0/1

Elevul a ob"),"inut p(2nk) = 5, dar nu a ar"),"tat cum a ajuns la aceast")," concluzie.

Înmulțind inegalitățile (2) cu 5nk, obținem 10k−1·5nk < 10nk < 10k·5nk, de unde împărțind prima inegalitate cu 5·10k−1 şi a doua cu 10k, obținem 10nk−k < 5nk < 2·10nk−k, deci p(5nk) = 1 < p(2nk).

0/1

Aceast")," sec"),"iune lipse"),"te din rezolvarea elevului.

Mulțimea {nk|k ∈ N*} are o infinitate de elemente deoarece 2nk < 10k < 2nk+1 < 2·10k < 5·10k < 2nk+1, deci nk < nk+1. Cum {nk|k ∈ N*} ⊂ A şi {nk+1|k ∈ N*} ⊂ B, mulțimile A şi B au o infinitate de elemente.

0/1

Aceast")," sec"),"iune lipse"),"te din rezolvarea elevului.