Problema 1
Până la 8 pagini. Fotografiază cu lumină bună și imagine clară.
Lucrarea nu corespunde problemei de corectat.
Elevul a demonstrat corect inegalitatea b + c / 2 <= sqrt(b^2 + c^2 / 2) și a aplicat-o pentru a obține b^2 + c^2 / (b+c) = b+c - 2bc / (b+c). De asemenea, a menționat că se aplică analog pentru ceilalți termeni, ceea ce este complet.
Elevul a aplicat corect inegalitatea demonstrată la suma de termeni, obținând expresia 2(ab+bc+ca) - 2abc(1/(a+b) + 1/(b+c) + 1/(c+a)), ceea ce corespunde punctajului maxim pentru acest pas.
Elevul a aplicat inegalitatea lui Cauchy-Schwarz (sau Titu's Lemma) pentru a arăta că 1/(a+b) + 1/(b+c) + 1/(c+a) >= (1+1+1)^2 / (2(a+b+c)) = 9 / (2*3) = 3/2, ceea ce este esențial pentru finalizarea demonstrației. Acest pas a fost realizat corect.
Elevul a demonstrat corect inegalitatea (b+c)/2
leq
sqrt{(b^2+c^2)/2} și a reformulat termenul
sqrt{(b^2+c^2)/2}
leq
(b^2+c^2)/(b+c) = b+c -
(2bc)/(b+c), chiar dacă a scris 'Stoica' în loc de 'Schur' pentru inegalitate. Aceasta este o greșeală minoră de atribuire care nu afectează corectitudinea matematică a pasului.
Elevul a aplicat corect inegalitatea precedentă pentru toți termenii sumei, obținând: Suma(a * sqrt((b^2+c^2)/2)) <= Suma(a * (b+c - 2bc/(b+c))) = Suma(ab+ac - 2abc/(b+c)). Aceasta conduce direct la 2(ab+bc+ca) - 2abc * Suma(1/(b+c)), ceea ce este corect.
Elevul a aplicat inegalitatea lui Bergstrom (varianta lui Titu Andreescu, cunoscută și ca inegalitatea lui Engel) corect pentru a demonstra că Suma(1/(a+b)) >= 9/(2(a+b+c)). Deoarece a+b+c = 3, rezultă Suma(1/(a+b)) >= 9/6 = 3/2. Acest pas finalizează demonstrația conform rubricii.
Elevul nu a demonstrat inegalitatea pentru un termen și analoagele. A menționat "Din inegalitatea lui Guigi" și a rescris parțial inegalitatea inițială, dar fără a aduce contribuții concrete la demonstrație.
Elevul nu a aplicat inegalitatea la suma de termeni. Au fost scrise expresii care par a fi părți din inegalitatea inițială, dar nu s-a făcut nicio aplicare sau transformare relevantă conform rubricii.
Elevul nu a finalizat demonstrația folosind inegalitatea cerută. Mențiunile "2+2>=3+1" și "4+5>=8+1" nu sunt relevante pentru demonstrație și "postulatul lui Stoica" este necunoscut în contextul matematic standard.
Lucrarea nu corespunde problemei de corectat.
Elevul a aplicat corect inegalitatea QM-AM (inegalitatea lui Cauchy-Schwarz este menționată, dar contextul este pentru QM-AM), arătând că (b+c)/2 <= sqrt((b^2+c^2)/2). Apoi a folosit o relație similară (sqrt((b^2+c^2)/2) <= (b^2+c^2)/(b+c)) dar a făcut o greșeală în scrierea termenului 2bc/(b+c). Cu toate acestea, ideea de a lega termenul cu (b+c) și 2bc/(b+c) este prezentă.
Elevul a aplicat corect transformarea termenilor individuali la sumă, obținând: Suma a * sqrt((b^2+c^2)/2) <= Suma a * (b+c - 2bc/(b+c)). Aceasta este echivalentă cu 2(ab+bc+ca) - 2abc * Suma (1/(b+c)), care este o formă corectă pentru a continua demonstrația.
Elevul a utilizat corect inegalitatea lui Bergstrom (o formă a inegalității Cauchy-Schwarz sau Titu's Lemma) pentru a arăta că Suma (1/(a+b)) >= 3/2. Această inegalitate este crucială și a fost aplicată corect, chiar dacă notația sumei era puțin ambiguă (Sigma 1/(a+b)). Finalizarea este corectă.
